5699. Точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— основания высот остроугольного треугольника ABC
.
а) Докажите, что \angle AA_{1}B_{1}=\angle AA_{1}C_{1}
.
б) Известно, что A_{1}B_{1}=26
, B_{1}C_{1}=28
, A_{1}C_{1}=30
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. 1365.
Решение. а) Пусть H
— точка пересечения высот треугольника ABC
. Из точек A_{1}
и C_{1}
отрезок BH
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BH
. Вписанные в эту окружность углы HA_{1}C_{1}
и HBC_{1}
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Значит,
\angle AA_{1}C_{1}=\angle HA_{1}C_{1}=\angle HBC_{1}=\angle ABB_{1}=90^{\circ}-\angle BAC.
Аналогично
\angle AA_{1}B_{1}=90^{\circ}-\angle BAC.
Следовательно, \angle AA_{1}B_{1}=\angle AA_{1}C_{1}
.
б) Пусть A_{2}
, B_{2}
, C_{2}
— точки пересечения продолжений высот AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
соответственно с окружностью, описанной около треугольника ABC
. Тогда A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— середины отрезков HA_{2}
, HB_{2}
, HC_{2}
. Значит, A_{1}B_{1}
, B_{1}C_{1}
, A_{1}C_{1}
— средние линии треугольников A_{2}HB_{2}
, B_{2}HC_{2}
, A_{2}HC_{2}
, поэтому стороны треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
соответственно параллельны сторонами треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Следовательно, треугольник A_{2}B_{2}C_{2}
подобен треугольнику A_{1}B_{1}C_{1}
с коэффициентом 2. Тогда
A_{2}B_{2}=2A_{1}B_{1}=52,~B_{2}C_{2}=2B_{1}C_{1}=56,~A_{2}C_{2}=2A_{1}C_{1}=60.
Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, R
— радиус этой окружности. Обозначим \angle A_{2}B_{2}C_{2}=\angle A_{1}B_{1}C_{1}=\beta
. Из треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
по теореме косинусов находим, что
\cos\beta=\frac{26^{2}+28^{2}-30^{2}}{2\cdot26\cdot28}=\frac{5}{13}.
Тогда
\sin\beta=\sqrt{1-\cos^{2}\beta}=\sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^{2}}=\frac{12}{13},
R=\frac{A_{2}C_{2}}{2\sin\beta}=\frac{60}{2\cdot\frac{12}{13}}=\frac{65}{2}.
Известно, что радиусы OA
, OB
, OC
перпендикулярны отрезкам B_{1}C_{1}
, A_{1}C_{1}
, A_{1}B_{1}
соответственно (см. задачу 480). Следовательно,
S_{\triangle ABC}=S_{AB_{1}OC_{1}}+S_{BA_{1}OC_{1}}+S_{CA_{1}OB_{1}}=
=\frac{1}{2}B_{1}C_{1}\cdot OA+\frac{1}{2}A_{1}C_{1}\cdot OB+\frac{1}{2}A_{1}B_{1}\cdot OC=
=\frac{1}{2}(B_{1}C_{1}+A_{1}C_{1}+A_{1}B_{1})\cdot R=\frac{1}{2}(28+30+26)\cdot\frac{65}{2}=1365.