5711. Дан описанный четырёхугольник. Точки касания его вписанной окружности со сторонами последовательно соединены отрезками. В получившиеся треугольники вписаны окружности. Докажите, что диагонали четырёхугольника с вершинами в центрах этих окружностей взаимно перпендикулярны.
Указание. Центры четырёх указанных окружностей — середины соответствующих дуг вписанной окружности четырёхугольника. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых на окружности этими хордами (см. задачу 362).
Решение. Пусть ABCD
— описанный четырёхугольник, а вписанная окружность касается его сторон AB
, BC
, CD
, AD
соответственно в точках K
, L
, M
, N
. Если O_{1}
— середина меньшей дуги KN
вписанной окружности, то треугольник KO_{1}N
— равнобедренный, поэтому \angle O_{1}KN=\angle O_{1}NK
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle O_{1}KA=\angle O_{1}NK
. Значит, \angle O_{1}KA=\angle O_{1}KN
, т. е. KO_{1}
— биссектриса угла AKN
треугольника AKN
, а так как AO_{1}
— биссектриса угла KAN
, то O_{1}
— точка пересечения биссектрис треугольника AKN
, т. е. центр вписанной окружности этого треугольника. Аналогично докажем, что центры O_{2}
, O_{3}
и O_{4}
вписанных окружностей треугольников соответственно BKL
, CLM
и DMN
— середины соответствующих дуг KL
, LM
и MN
вписанной окружности четырёхугольника ABCD
Пусть хорды O_{1}O_{3}
и O_{2}O_{4}
этой окружности пересекаются в точке E
. Тогда (см. задачу 26)
\angle O_{1}EO_{2}=\frac{1}{2}(\smile O_{1}KO_{2}+\smile O_{3}MO_{4})=
=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\smile NO_{1}K+\frac{1}{2}\smile KO_{2}L+\frac{1}{2}\smile MO_{3}L+\frac{1}{2}\smile MO_{4}N\right)=
=\frac{1}{4}(\smile NO_{1}K+\smile KO_{2}L+\smile MO_{3}L+\smile MO_{4}N)=\frac{1}{4}\cdot360^{\circ}=90^{\circ},
что и требовалось доказать.