5714. В треугольнике ABC
проведена высота CC_{1}
. Точки P
и Q
— проекции точки C_{1}
на стороны AC
и BC
соответственно. Известно, что в четырёхугольник CPC_{1}Q
можно вписать окружность. Докажите, что треугольник ABC
— равнобедренный.
Указание. Примените свойство вписанного четырёхугольника и теорему Пифагора.
Решение. Обозначим CP=x
, CQ=y
, C_{1}Q=z
, C_{1}P=t
. Тогда
\syst{x+z=y+t\\x^{2}+t^{2}=y^{2}+x^{2}\\}~~\Rightarrow~~\syst{x-y=t-z\\x^{2}-y^{2}=z^{2}-t^{2}\\}~~\Rightarrow~~\syst{x-y=t-z\\(x-y)(x+y)=(z-t)(z+t).\\}
Если x\ne y
, то x+y+z+t=0
, что невозможно. Значит, x=y
. Тогда t=z
, поэтому высота CC_{1}
треугольника ABC
является его биссектрисой. Следовательно, этот треугольник равнобедренный.