5717. В остроугольный треугольник вписана окружность радиуса R
. К окружности проведены три касательные, разбивающие треугольник на три прямоугольных треугольника и шестиугольник. Периметр шестиугольника равен Q
. Найдите сумму диаметров окружностей, вписанных в прямоугольные треугольники.
Ответ. Q-6R
.
Решение. Первый способ. Пусть окружность с центром O
касается сторон AK
и AL
данного треугольника AKL
в точках D
и F
соответственно, а касательная к этой окружности пересекает эти стороны соответственно в точках C
и B
и касается окружности в точке E
, причём \angle ACB=90^{\circ}
.
Точки касания вписанной окружности со сторонами шестиугольника и его вершины разбивают его периметр на 12 отрезков. Отрезки, выходящие из вершин прямых углов шестиугольника (на каких бы сторонах треугольника эти вершины не лежали) равны R
(например, проведя радиусы OD
и OE
в точки касания, получим квадрат CDOE
, значит, CD=CE=R
). Отрезки касательных, проведённых из трёх остальных вершин шестиугольника обозначим x
, y
, z
(см. рис.). Тогда периметр шестиугольника Q=6R+2x+2y+2z
.
Как известно, диаметр вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен разности суммы катетов и гипотенузы (см. задачу 217). Для треугольника ABC
получаем
AC+BC-AB=(AD-R)+(R+x)-(AF-x)=2x+(AD-AF)=2x,
поскольку касательные AD
и AF
равны. Аналогично два других диаметра равны 2y
и 2z
, откуда их сумма 2x+2y+2z=Q-6R
.
Второй способ. Пусть вписанная окружность треугольника ABC
касается стороны BC
в точке K
. Как известно, CK=BE=x
(E
— точка касания вневписанной окружности). С другой стороны, отрезок CK
равен радиусу вписанной окружности. Поэтому диаметр её равен 2x
.