5718. Высоты AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
остроугольного треугольника ABC
пересекаются в точке H
; точки A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
— середины отрезков AH
, BH
и CH
соответственно. Рассмотрим шестиугольник, образованный пересечением треугольников A_{1}B_{1}C_{1}
и A_{2}B_{2}C_{2}
. Докажите, что его диагонали, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке.
Указание. Указанные диагонали шестиугольника пересекаются в точке H
. Пусть M
— точка пересечения отрезков B_{1}C_{1}
и A_{2}C_{2}
, а N
— отрезков A_{1}C_{1}
и B_{2}C_{2}
. Тогда \angle MHB_{1}=\angle NHB_{2}
.
Решение. Докажем, что указанные диагонали шестиугольника пересекаются в точке H
. Пусть M
— точка пересечения отрезков B_{1}C_{1}
и A_{2}C_{2}
, а N
— отрезков A_{1}C_{1}
и B_{2}C_{2}
. Если мы докажем, что \angle MHB_{1}=\angle NHB_{2}
, это будет означать, что диагональ MN
указанного шестиугольника проходит через точку H
.
Обозначим \angle MHB_{1}=\alpha
, \angle NHA_{1}=\beta
. Отрезок A_{2}C_{2}
— средняя линия треугольника AHC
, поэтому A_{2}C_{2}
— серединный перпендикуляр отрезка HB_{1}
, значит, треугольник HMB_{1}
равнобедренный, а так как высота BB_{1}
треугольника ABC
делит пополам угол его ортотреугольника (см. задачу 533), то
\angle BB_{1}A_{1}=\angle MB_{1}H=\angle MHB_{1}=\alpha.
Из точек A_{1}
и B_{1}
отрезок AB
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AB
, поэтому \angle BAA_{1}=\angle BB_{1}A_{1}=\alpha
. Тогда \angle B_{2}A_{2}A_{1}=\angle BB_{1}A_{1}=\alpha
Аналогично докажем, что \angle A_{2}B_{2}B_{1}=\angle NHA_{1}=\beta
. По теореме о внешнем угле треугольника \angle A_{1}HB_{2}=\alpha+\beta
, значит,
\angle NHB_{2}=\angle A_{1}HB_{2}-\angle NHA_{1}=(\alpha+\beta)-\beta=\alpha=\angle MHB_{1},
что и требовалось доказать.