5719. На сторонах AB
и AC
остроугольного треугольника ABC
взяты точки C_{2}
и B_{2}
соответственно, причём отрезок BC_{2}
равен высоте BB_{1}
, а отрезок CB_{2}
— высоте CC_{1}
. Докажите, что точки B_{1}
, B_{2}
, C_{1}
и C_{2}
лежат на одной окружности.
Указание. Отрезок C_{1}B_{1}
виден из точек B_{2}
и C_{2}
под одним и тем же углом.
Решение. BAC
— общий угол прямоугольных треугольников AB_{1}B
и AC_{1}C
, поэтому \angle ABB_{1}=\angle ACC_{1}
. Угол при вершине B
равнобедренного треугольника B_{1}BC_{2}
равен углу при вершине C
равнобедренного треугольника C_{1}CB_{2}
, значит, соответственно равны и углы при основаниях, т. е. \angle BC_{2}B_{1}=\angle CB_{2}C_{1}
.
Отрезок C_{1}B_{1}
виден из точек B_{2}
и C_{2}
под одним и тем же углом, причём эти точки лежат по одну сторону от прямой B_{1}C_{1}
, следовательно, точки B_{1}
, B_{2}
, C_{1}
и C_{2}
лежат на одной окружности.