5721. Около остроугольного треугольника ABC
описана окружность. На её меньших дугах BC
, AC
и AB
взяты точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно. Точки A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
— ортоцентры треугольников соответственно BA_{1}C
, AB_{1}C
и AC_{1}B
. Докажите, что описанные окружности треугольников BA_{2}C
, AB_{2}C
и AC_{2}B
пересекаются в одной точке.
Указание. Пусть M
— точка пересечения окружностей, описанный около треугольников AB_{2}C
и BA_{2}C
. Докажите, что точки M
, A
, B
и C_{2}
лежат на одной окружности.
Решение. Обозначим углы треугольника ABC
через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Пусть M
— точка пересечения окружностей, описанный около треугольников AB_{2}C
и BA_{2}C
. Тогда
\angle BMC=180^{\circ}-\angle BA_{2}C=180^{\circ}-(180^{\circ}-\angle BA_{1}C)=
=\angle BA_{1}C=180^{\circ}-\angle BAC=180^{\circ}-\alpha.
Аналогично, \angle AMC=180^{\circ}-\beta
. Тогда
\angle AMB=360^{\circ}-\angle BMC-\angle AMC=360^{\circ}-(180^{\circ}-\alpha)-(180^{\circ}-\beta)=\alpha+\beta,
а так как
\angle AC_{2}B=180^{\circ}-\angle AC_{1}B=180^{\circ}-(180^{\circ}-\angle ACB)=\angle ACB=\gamma,
то
\angle AC_{2}B+\angle AMB=\gamma+\alpha+\beta=180^{\circ}.
Следовательно, точки M
, A
, B
и C_{2}
лежат на одной окружности, т. е. окружность, описанная около треугольника AC_{2}B
, также проходит через точку M
. Что и требовалось доказать.