5727. Точки B_{1}
и C_{1}
расположены на сторонах соответственно AC
и AB
треугольника ABC
. Отрезки BB_{1}
и CC_{1}
пересекаются в точке P
; O
— центр вписанной окружности треугольника AB_{1}C_{1}
, M
— точка касания этой окружности с отрезком B_{1}C_{1}
. Известно, что прямые OP
и BB_{1}
перпендикулярны. Докажите, что \angle AOC_{1}=\angle MPB_{1}
.
Указание. Точки O
, M
, P
и B_{1}
лежат на одной окружности.
Решение. Обозначим \angle AB_{1}C_{1}=\gamma
. Тогда (см. задачу 4770)
\angle AOC_{1}=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2},~\angle MB_{1}O=\frac{\gamma}{2}.
Из точек P
и M
отрезок OB_{1}
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром OB_{1}
. Вписанные в эту окружность углы MPO
и MB_{1}O
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle MPO=\angle MB_{1}O=\frac{\gamma}{2}
. Следовательно,
\angle MPB_{1}=\angle OPB_{1}+\angle MPO=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}=\angle AOC_{1},
что и требовалось доказать.