5803. Окружность с центром на диагонали AC
трапеции ABCD
(BC\parallel AD
) проходит через вершины A
и B
, касается стороны CD
в точке C
и пересекает основание AD
в точке E
. Найдите площадь трапеции ABCD
, если CD=6\sqrt{13}
, AE=8
.
Ответ. 204.
Решение. Точки B
и E
лежат на окружности с диаметром AC
, поэтому \angle BAE=\angle ABC=\angle AEC=90^{\circ}
и ABCE
— прямоугольник; AC
— диаметр окружности, касающейся прямой CD
в точке C
, поэтому \angle ACD=90^{\circ}
. Значит, CE
— высота прямоугольного треугольника ACD
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому CD^{2}=DE\cdot AD
, или 468=DE(DE+8)
, откуда находим, что DE=18
. Тогда
AD=18+8=26,~CE=\sqrt{AE\cdot DE}=\sqrt{8\cdot18}=12.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot CE=\frac{AD+AE}{2}\cdot=\frac{26+8}{2}\cdot12=204.