5819. Через вершины A
, B
и C
трапеции ABCD
(AD\parallel BC
) проведена окружность. Известно, что окружность касается прямой CD
, а её центр лежит на диагонали AC
. Найдите площадь трапеции ABCD
, если BC=2
, AD=8
.
Ответ. 10\sqrt{3}
.
Решение. Поскольку вершины A
и C
трапеции лежат на окружности с центром O
на отрезке AC
, этот отрезок — диаметр окружности. Тогда \angle ABC=\angle ACD=90^{\circ}
.
Пусть окружности пересекает основание AD
в точке H
. Тогда \angle AHC=90^{\circ}
, т. е. CH
— высота прямоугольного треугольника ACD
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
CH=\sqrt{AH\cdot DH}=\sqrt{AH\cdot(AD-AH)}=\sqrt{BC(AD-BC)}=\sqrt{2(8-2)}=2\sqrt{3}.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot CH=\frac{2+8}{2}\cdot2\sqrt{3}=10\sqrt{3}.