5831. Дан ромб ABCD
с тупым углом при вершине A
. На продолжении стороны AD
за точку D
взята точка K
. Отрезки BK
и CD
пересекаются в точке L
. Найдите площадь треугольника ABK
, если BL=2
, KL=5
, а высота ромба равна 1.
Ответ. \frac{49}{10\sqrt{3}}
.
Решение. Пусть H
— проекция точки L
на прямую AB
. Тогда LH
— высота ромба ABCD
, поэтому LH=1
. Тогда в прямоугольном треугольнике BHL
катет LH
равен половине гипотенузы BL
, поэтому \angle LBH=30^{\circ}
.
Пусть AD=2x
. Тогда DK=5x
, так как \frac{AD}{DK}=\frac{BL}{LK}=\frac{2}{5}
. По теореме косинусов
AK^{2}=AB^{2}+BK^{2}-2AB\cdot BK\cos30^{\circ},
или
49x^{2}=4x^{2}+49-2\cdot2x\cdot7\cdot\frac{\sqrt{3}}{2},~45x^{2}-14x\sqrt{3}-49=0.
Отсюда находим, что x=\frac{7\sqrt{3}}{15}
.
Пусть P
— проекция точки B
на прямую AK
. Тогда BP
— высота ромба ABCD
и треугольника ABK
. Следовательно,
S_{\triangle ABK}=\frac{1}{2}AK\cdot BP=\frac{1}{2}\cdot7x\cdot1=\frac{7}{2}x=\frac{7}{2}\cdot\frac{7\sqrt{3}}{15}=\frac{49\sqrt{3}}{30}=\frac{49}{10\sqrt{3}}.