5859. Медиана AE
и биссектриса CD
равнобедренного треугольника ABC
(AB=BC
) пересекаются в точке M
. Прямая, проходящая через точку M
параллельно AC
, пересекает AB
и BC
в точках P
и Q
соответственно. Найдите MQ
и радиус окружности, описанной около треугольника PQB
, если AC=4
, \angle ACB=\arctg2\sqrt{2}
.
Ответ. \frac{12}{7}
, \frac{45\sqrt{2}}{28}
.
Решение. Обозначим \angle BCD=\angle ACD=\alpha
. По условию задачи \tg2\alpha=2\sqrt{2}
. Тогда
\cos2\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^{2}2\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{1+8}}=\frac{1}{3},~\sin2\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}2\alpha}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.
Пусть BF
— высота равнобедренного треугольника ABC
. Тогда CF=AF=2
. Из прямоугольного треугольника BFC
находим, что
BC=\frac{FC}{\cos2\alpha}=\frac{2}{\frac{1}{3}}=6,
а так как E
— середина BC
, то CE=3
.
Поскольку CM
— биссектриса треугольника ACE
,
\frac{ME}{AM}=\frac{CE}{AC}=\frac{3}{4},~\frac{ME}{AE}=\frac{3}{7}.
Из подобия треугольников EMQ
и EAC
находим, что
MQ=AC\cdot\frac{EM}{AE}=4\cdot\frac{3}{7}=\frac{12}{7}.
Поскольку прямые PQ
и AC
параллельны и CM
— биссектриса угла ACB
,
\angle CMQ=\angle ACM=\angle MCQ.
Значит, треугольник MCQ
— равнобедренный, CQ=MQ=\frac{12}{7}
. Тогда
BQ=BC-CQ=6-\frac{12}{7}=\frac{30}{7}.
Пусть R
— радиус окружности, описанной около треугольника PQB
. По теореме синусов
R=\frac{BQ}{2\sin\angle BPQ}=\frac{BQ}{2\sin\angle BAC}=\frac{BQ}{2\sin2\alpha}=\frac{\frac{30}{7}}{\frac{4\sqrt{2}}{3}}=\frac{45}{14\sqrt{2}}=\frac{45\sqrt{2}}{28}.