5866. В равнобедренный треугольник ABC
(AB=BC
) вписана окружность. Прямая, параллельная стороне BC
и касающаяся окружности, пересекает сторону AB
в точке N
такой, что AN=\frac{3}{8}AB
. Найдите радиус окружности, если площадь треугольника ABC
равна 12.
Ответ. \frac{3}{2}
.
Решение. Пусть касательная пересекает основание AC
в точке M
, а окружность касается прямых MN
, AB
и AC
в точках D
, E
и H
соответственно. Обозначим BC=AB=a
, AH=CH=b
. Тогда
AE=AH=b,~MD=MH,~ND=NE,~AE=AN+NE=AN+ND,
AH=AM+MH=AM+MD,~AE=AH.
Если p_{1}
и p
— полупериметры подобных треугольников ANM
и ABC
, то
p_{1}=AE=AH=b,~p=AB+AH=a+b,~\frac{p_{1}}{p}=\frac{AN}{AB}=\frac{3}{8},
или \frac{b}{a+b}=\frac{3}{8}
. Откуда находим, что b=\frac{3}{5}a
. Тогда
BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{a^{2}-\left(\frac{3}{5}a\right)^{2}}=\frac{4}{5}a,
а так как S_{\triangle ABC}=AH\cdot BH
, то 12=b\cdot\frac{4}{5}a
, или 12=\frac{3}{5}a\cdot\frac{4}{5}a
, откуда a=5
, а b=\frac{3}{5}a=3
.
Пусть r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
. Тогда
r=\frac{S_{\triangle ABC}}{p}=\frac{12}{a+b}=\frac{12}{5+3}=\frac{3}{2}.