5896. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность, причём сторона CD
— диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH
к диагонали BD
пересекает сторону CD
в точке E
, а окружность — в точке F
, причём H
— середина AE
.
а) Докажите, что четырёхугольник BCFE
— параллелограмм.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD
, если известно, что AB=5
и AH=4
.
Ответ. 67{,}5
.
Решение. а) Точка B
лежит на окружности с диаметром CD
, поэтому BC\perp BD
, а так как AF\perp BD
, то BC\parallel AF
. Трапеция ABCF
вписана в окружность, значит, она равнобедренная, CF=AB
(см. задачу 5003). Высота BH
треугольника ABE
является его медианой, значит, треугольник ABE
равнобедренный, поэтому BE=AB=CF
, а так как \angle BEA=\angle BAE=\angle CFE
, то CF\parallel BE
. Противоположные стороны BE
и CF
четырёхугольника BCFE
равны и параллельны, значит, это параллелограмм.
б) Треугольник ADE
равнобедренный, так как его высота DH
является медианой, значит, \angle CEF=\angle AED=\angle DAE
, а так как вписанные углы DCF
и DAF
опираются на одну и ту же дугу, то
\angle ECF=\angle DCF=\angle DAF=\angle DAE=\angle CEF.
Следовательно, треугольник CEF
равнобедренный, EF=CF=AB=5
.
Из прямоугольного треугольника ABH
находим, что BH=3
, значит, высота параллелограмма BCFE
(даже ромба), опущенная из вершины E
на сторону BC
, равна 3.
По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд DH\cdot BH=AH\cdot HF
(см. задачу 2627), откуда
DH=\frac{AH\cdot HF}{BH}=\frac{4\cdot9}{3}=12,~BD=BH+DH=3+12=15.
Следовательно,
S_{ABCD}=S_{ABED}+S_{\triangle BCE}=\frac{1}{2}AE\cdot BD+\frac{1}{2}EF\cdot BH=
=\frac{1}{2}\cdot8\cdot15+\frac{1}{2}\cdot5\cdot3=60+\frac{15}{2}=\frac{135}{2}=67{,}5.