5906. Диагональ AC
трапеции ABCD
с основаниями BC
и AD
является биссектрисой угла BCD
.
а) Докажите, что AD=CD
.
б) Прямая, проходящая через вершину D
перпендикулярно AC
, пересекает боковую сторону AB
в точке M
. Найдите отношение BM:AM
, если известно, что AD=2BC
.
Ответ. 1:2
.
Решение. а) Поскольку
\angle CAD=\angle ACB=\angle ACD,
треугольник ACD
равнобедренный. Следовательно, AD=CD
.
б) Пусть прямые DM
и BC
пересекаются в точке N
. Высота DH
равнобедренного треугольника ACD
является его медианой, значит, H
— середина AC
. Треугольники CHN
и AHD
равны по стороне и прилежащим к ней углам, поэтому CN=AD=2BC
. Тогда
BN=CN-BC=2BC-BC=BC=\frac{1}{2}AD.
Треугольник BMN
подобен треугольнику AMD
, следовательно,
\frac{BM}{MA}=\frac{BN}{AD}=\frac{\frac{1}{2}AD}{AD}=\frac{1}{2}.