5907. Через вершину B
трапеции ABCD
с основаниями AD
и BC
проведена прямая, параллельная диагонали AC
. Пусть эта прямая пересекается с продолжением основания AD
в точке E
.
а) Докажите, что медиана BK
треугольника DBE
равна отрезку, соединяющему середины оснований трапеции.
б) Найдите площадь трапеции, если её диагонали равны 16 и 30, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 17.
Ответ. 240.
Решение. а) Противоположные стороны четырёхугольника ACBE
попарно параллельны, значит, это параллелограмм. Поэтому AE=BC
. Пусть M
и N
— середины оснований соответственно BC
и AD
трапеции, а BK
— медиана треугольника DBE
. Тогда
EK=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}(AE+AD)=\frac{1}{2}(BC+AD),
EN=AE+AN=BC+\frac{1}{2}AD,
KN=EN-EK=\left(BC+\frac{1}{2}AD\right)-\frac{1}{2}(BC+AD)=\frac{1}{2}BC=BM.
Противоположные стороны KN
и BC
четырёхугольника BMNK
равны и параллельны, значит, это параллелограмм. Следовательно, BK=MN
.
б) Треугольник ABE
равновелик треугольнику BCD
, так как AE=BC
и равны высоты треугольников, опущенные на эти стороны. Следовательно,
S_{ABCD}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BCD}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ABE}=S_{\triangle BDE},
т. е. трапеция ABCD
равновелика треугольнику DBE
.
Пусть AC=16
, BD=30
, MN=17
. На продолжении медианы BK
треугольника BDE
отложим отрезок KF=BK
. Тогда BDFE
— параллелограмм, поэтому
DF=BE=AC=16,~BF=2BK=2MN=34.
Треугольник BDF
прямоугольный, так как
BD^{2}+DF^{2}=30^{2}+16^{2}=34^{2}=BF^{2},
значит, его площадь равна половине произведения катетов, т. е.
S_{\triangle BDF}=\frac{1}{2}BD\cdot DF=15\cdot16=240.
Следовательно,
S_{ABCD}=S_{\triangle BDE}=S_{\triangle BDF}=240.