5918. На каждой стороне равностороннего треугольника взято по точке, причём треугольник с вершинами в этих точках также равносторонний.
а) Докажите, что эти точки делят стороны исходного треугольника в одном и том же отношении.
б) Найдите это отношение, если отношение площади полученного треугольника к площади исходного равно \frac{7}{16}
.
Ответ. \frac{1}{3}
.
Решение. а) Пусть точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
лежат на сторонах соответственно BC
, AC
и AB
равностороннего треугольника ABC
, причём треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
также равносторонний.
Обозначим \angle AC_{1}B_{1}=\alpha
. Тогда
\angle AB_{1}C_{1}=180^{\circ}-60^{\circ}-\alpha=120^{\circ}-\alpha,
\angle CB_{1}A_{1}=180^{\circ}-\angle AB_{1}C_{1}-\angle A_{1}B_{1}C_{1}=180^{\circ}-(120^{\circ}-\alpha)-60^{\circ}=\alpha,
\angle CA_{1}B_{1}=180^{\circ}-\alpha-60^{\circ}=120^{\circ}-\alpha,
значит, треугольник A_{1}CB_{1}
равен треугольнику B_{1}AC_{1}
по стороне и прилежащим к ней углам. Аналогично треугольник C_{1}BA_{1}
равен треугольнику B_{1}AC_{1}
. Тогда
AB_{1}=CA_{1}=BC_{1},~B_{1}C=A_{1}B=C_{1}A.
Следовательно,
\frac{AB_{1}}{B_{1}C}=\frac{CA_{1}}{A_{1}B}=\frac{BC_{1}}{C_{1}A}.
б) Обозначим
S_{\triangle ABC}=S,~S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=S_{1},~\frac{AC_{1}}{AB}=\frac{BA_{1}}{BC}=\frac{CB_{1}}{AC}=k\lt1.
Тогда (см. задачу 3007)
S_{\triangle B_{1}AC_{1}}=\frac{AC_{1}}{AB}\cdot\frac{AB_{1}}{AC}\cdot S_{\triangle ABC}=k(1-k)S.
S_{1}=S-3S_{\triangle B_{1}AC_{1}}=S-3k(1-k)S=(3k^{2}-3k+1)S.
По условию задачи \frac{S_{1}}{S}=\frac{7}{16}
, поэтому
3k^{2}-3k+1=\frac{7}{16},~\mbox{или}~16k^{2}-16k+3=0,
откуда находим, что k=4
или k=\frac{1}{4}
, а так как k\lt1
, то k=\frac{1}{4}
. Следовательно,
\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=\frac{k}{1-k}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3}.