5926. Окружность, вписанная в треугольник KLM
, касается его стороны KM
в точке A
, а вневписанная окружность касается продолжения стороны KM
за вершину M
в точке B
.
а) Докажите, что AB=LM
.
б) Найдите расстояние между центрами окружностей, если разность их радиусов равна 6, а LM=8
.
Ответ. 10.
Решение. а) Обозначим через p
полупериметр треугольника KLM
. Вневписанная окружность, о которой говорится в условии, касается стороны LM
. Пусть C
— точка касания, а D
— точка касания с продолжением стороны KL
. Тогда (см. задачи 4805 и 219)
KD=p,~LC=LD=KD-KL=p-KL,~MA=p-KL,
Значит, LC=MA
. Следовательно,
AB=MA+MB=LC+CM=LM.
б) Пусть O
и O_{1}
— центры соответственно вписанной и данной вневписанной окружностей треугольника KLM
, F
— проекция точки O
на O_{1}B
. Тогда AOFB
— прямоугольник,
FB=OA,~O_{1}F=O_{1}B-FB=O_{1}B-OA=6.
Следовательно,
OO_{1}=\sqrt{O_{1}F^{2}+OF^{2}}=\sqrt{O_{1}F^{2}+AB^{2}}=
=\sqrt{O_{1}F^{2}+LM^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10.