5928. В треугольник ABC
вписана окружность радиуса R
, касающаяся стороны AC
точке M
, причём AM=2R
и CM=3R
.
а) Докажите, что треугольник ABC
прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что R=2
.
Ответ. \sqrt{5}
.
Решение. а) Обозначим BM=x
. Пусть S
— площадь треугольника, p
— полупериметр. Тогда
p=2R+3R+x=5R+x,~S=pR=R(5R+x).
С другой стороны, по формуле Герона
S=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}=
=\sqrt{(5R+x)\cdot3R\cdot2R\cdot x}=R\sqrt{6x(5R+x)}.
Из уравнения R(5R+x)=R\sqrt{6x(5R+x)}
находим, что x=R
. Стороны треугольника ABC
равны 5R
, 4R
и 3R
, следовательно, этот треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине B
.
б) Пусть I
и O
— центры соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника ABC
, K
— точка касания вписанной окружности с катетом BC=4R=8
, L
— середина этого катета. Тогда O
— середина гипотенузы AC=5R=10
, OK
— средняя линия треугольника ABC
,
OK=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}R=3,~OK=R=2.
Пусть F
— проекция точки I
на OL
. Тогда KIFL
— прямоугольник,
FL=IK=2,~OF=OL-FL=3-2=1,~
IF=KL=BL-BK=2R-R=R=2.
Следовательно,
IO=\sqrt{OF^{2}+IF^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.
Примечание. По формуле Эйлера для расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника (см. задачу 126)
IO=\sqrt{\left(\frac{5}{2}R\right)^{2}-2R\cdot\frac{5}{2}R}=\frac{R\sqrt{5}}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}.