5935. Две стороны треугольника равны 25 и 30, косинус угла между ними равен \frac{3}{5}
.
а) Докажите, что треугольник равнобедренный.
б) Найдите сторону квадрата, две вершины которого лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах.
Ответ. 12.
Решение. а) Пусть AB=25
, AC=30
и \cos\angle BAC=\frac{3}{5}
. По теореме косинусов
BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cos\angle BAC}=
=\sqrt{625+900-2\cdot25\cdot30\cdot\frac{3}{5}}=\sqrt{25(25+36-36)}=25,
значит, BC=AB
. Следовательно, треугольник ABC
равнобедренный с основанием AC
.
б) Пусть вершины K
и L
квадрата KLMN
лежат на основании AC
, вершины M
и N
— на боковых сторонах соответственно BC
и AB
треугольника ABC
, а высота BH
пересекает отрезок MN
в точке P
. Поскольку треугольник равнобедренный, точки H
и P
— середины AC
и MN
. По теореме Пифагора
BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{625-225}=20.
Обозначим через x
сторону квадрата. Тогда PH=ML=x
и BP=BH-PH=20-x
. Высоты BP
и BH
подобных равнобедренных треугольников MBN
и ABC
относятся как их основания, поэтому \frac{20-x}{20}=\frac{x}{30}
. Отсюда находим, что x=12
. Следовательно, сторона квадрата равна 12.