5955. В четырёхугольнике ABCD
угол B
равен 150^{\circ}
, угол C
прямой, а стороны AB
и CD
равны. Найдите угол между стороной BC
и прямой, проходящей через середины сторон BC
и AD
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Пусть M
— середина BC
, N
— середина AD
. Построим параллелограмм ABMK
и прямоугольник CDLM
. Тогда AKDL
— тоже параллелограмм (стороны AK
и LD
равны и параллельны). Значит, N
является и серединой диагонали KL
. В треугольнике KML
\angle KML=\angle KMC-\angle LMC=150^{\circ}-90^{\circ}=60^{\circ},
а KM=ML
, следовательно, он равносторонний. Поэтому медиана MN
служит и биссектрисой, т. е. \angle KMN=30^{\circ}
, а
\angle BMN=\angle BMK+\angle KMN=30^{\circ}+30^{\circ}=60^{\circ}.