5956. На катетах прямоугольного треугольника ABC
с прямым углом C
вовне построили квадраты ACKL
и BCMN
. Пусть CE
— высота, опущенная на гипотенузу AB
. Докажите, что угол LEM
прямой.
Решение. Первый способ. Из очевидного подобия треугольников AEC
и ACB
получаем, что \frac{CE}{EA}=\frac{CB}{CA}=\frac{CM}{AL}
. Поэтому при повороте на 90^{\circ}
и последующей гомотетии с центром E
и коэффициентом \frac{CE}{CA}
отрезок EA
переходит в EC
, прямая AL
в прямую CM
. Значит, отрезок AL
переходит в CM
, а EL
— в EM
. Следовательно, угол LEM
— прямой.
Второй способ. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда
\angle BEC=\alpha,~\angle EAL=90^{\circ}+\alpha=ECM,
\frac{CE}{EA}=\tg\alpha,~\frac{CM}{AL}=\frac{CB}{CA}=\tg\alpha,
значит, \frac{CE}{EA}=\frac{CB}{CA}
. Треугольники AEC
и ACB
подобны по двум сторонам и углу между ними, поэтому \angle AEL=\angle CEM
. Следовательно,
\angle LEM=\angle LEC+\angle CEM=\angle LEC+\angle AEL=\angle AEC=90^{\circ}.
Третий способ. Пусть P
и Q
— центры построенных квадратов (рис. 2). Тогда четырёхугольник AECP
вписанный, так как два его противоположных угла прямые. Кроме того, AP=CP
, поэтому EP
— биссектриса угла AEC
. Аналогично, четырёхугольник BECQ
вписанный и EQ
— биссектриса угла BEC
. Следовательно, \angle PEQ=90^{\circ}
. Значит, \angle LEM=90^{\circ}
, если \angle LEP=\angle MEQ
. Докажем равенство этих углов.
Рассмотрим треугольники LEP
и MEQ
. Пусть
\angle CAE=\angle CPE=\alpha,~\angle CBE=\angle CQE=\beta=90^{\circ}-\alpha.
Тогда
\angle MQE=90^{\circ}+\beta=180^{\circ}-\alpha=\angle LPE.
Кроме того, катеты треугольника ABC
— диаметры построенных окружностей, поэтому
\frac{EQ}{PE}=\frac{BC\cdot\sin\angle ECQ}{AC\cdot\sin\angle ECP}=\frac{BC}{AC}=\frac{MQ}{LP}
(так как диагонали квадратов пропорциональны их сторонам). Следовательно, треугольники LEP
и MEQ
подобны, откуда \angle LEP=\angle MEQ
. Что и требовалось.
Примечание. По сути, приведённое рассуждение показывает, что треугольник MCE
получается из треугольника LAE
поворотной гомотетией с центром E
, коэффициентом k=\tg\alpha
и углом 90^{\circ}
.