5957. Дан треугольник ABC
. Пусть I
— центр вписанной в него окружности, и пусть X
, Y
, Z
— центры окружностей, вписанных в треугольники AIB
, BIC
и AIC
соответственно. Оказалось, что центр окружности, вписанной в треугольник XYZ
, совпадает с I
. Обязательно ли тогда треугольник ABC
равносторонний?
Ответ. Обязательно.
Решение. Пусть K
— точка пересечения отрезков XY
и BI
, L
— отрезков YZ
и CI
, а M
— отрезков XZ
и AI
. По условию отрезок XI
делит пополам углы KIM
и KXM
, поэтому треугольники IKX
и IMX
равны. Аналогично, равны треугольники IKY
и ILY
, ILZ
и IMZ
. Следовательно,
\angle IKY=\angle ILY=180^{\circ}-\angle ILZ=180^{\circ}-\angle IMZ=\angle IMX=\angle IKX,
т. е. BI\perp XY
. В треугольнике XBY
отрезок BK
служит биссектрисой и высотой, а значит, и медианой, т. е. прямая BI
— серединный перпендикуляр к отрезку XY
. Поэтому \angle XIK=\angle YIK
. В то же время
\angle XIK=\frac{1}{2}\angle AIB=\frac{1}{2}\left(90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle C\right),~\angle YIK=\frac{1}{2}\left(90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A\right)
(см. задачу 4770). Значит, \angle A=\angle C
. Аналогично \angle A=\angle B
. Следовательно, треугольник ABC
равносторонний.