5962. На стороне AB
треугольника ABC
взята такая точка P
, что AP=2PB
, а на стороне AC
— её середина, точка Q
. Известно, что CP=2PQ
. Докажите, что треугольник ABC
прямоугольный.
Решение. Отложим на продолжении стороны AB
отрезок BD=PB
. Тогда PQ
— средняя линия треугольника ACD
. Следовательно, CD=2PQ=CP
, т. е. треугольник PCD
— равнобедренный. Отрезок CB
— его медиана, а значит, и высота. Следовательно, \angle ABC=90^{\circ}
.