5963. Биссектрисы углов при вершинах A
, B
и C
пересекают описанную окружность треугольника в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно. Выразите углы треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
через углы треугольника ABC
.
Ответ. \angle A_{1}=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A
, \angle B_{1}=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle B
, \angle C_{1}=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle C
.
Решение. Обозначим \angle A=\alpha
, \angle B=\beta
, \angle C=\gamma
. Вписанные углы AA_{1}B_{1}
и ABB_{1}
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle AA_{1}B_{1}=\angle ABB_{1}=\frac{\beta}{2}.
Аналогично, \angle AA_{1}C_{1}=\angle ACC_{1}=\frac{\gamma}{2}
. Следовательно,
\angle A_{1}=\angle B_{1}A_{1}C_{1}=\angle AA_{1}B_{1}+\angle AA_{1}C_{1}=\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.
Аналогично,
\angle B=90^{\circ}-\frac{\beta}{2},~\angle C=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}.