5972. Перпендикуляр, восстановленный в вершине C
параллелограмма ABCD
к прямой CD
, пересекает в точке F
перпендикуляр, опущенный из вершины A
на диагональ BD
, а перпендикуляр, восстановленный из точки B
к прямой AB
, пересекает в точке E
серединный перпендикуляр к отрезку AC
. В каком отношении отрезок EF
делится стороной BC
?
Ответ. 1:2
.
Решение. Пусть O
— центр параллелограмма ABCD
, а точка K
симметрична A
относительно B
. Тогда прямые BE
и OE
— серединные перпендикуляры к сторонам AK
и AC
треугольника ACK
. Значит, E
— центр описанной окружности этого треугольника.
С другой стороны, четырёхугольник BKCD
— параллелограмм, так как его противоположные стороны BK
и CD
равны и параллельны. Значит, AF\perp CK
, а так как CF\perp BK
, то F
— точка пересечения высот ACK
. Тогда CF=2BE
(см. задачу 1257).
Пусть P
— точка пересечения EF
и BC
. Треугольники BPE
и CPF
подобны, следовательно, BP:PC=BE:FC=1:2
.
Примечание. Прямая EF
— прямая Эйлера треугольника ACK
, а CB
— медиана, поэтому P
— точка пересечения медиан этого треугольника. Следовательно, BP:PC=1:2
(см. задачу 5044).