5982. В четырёхугольнике ABCD
стороны AD
и BC
параллельны. Докажите, что если биссектрисы углов DAC
, DBC
, ACB
и ADB
образовали ромб, то AB=CD
.
Решение. Первый способ. Пусть O
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
. Биссектрисы углов ADB
и DAC
пересекаются в центре O_{1}
окружности, вписанной в треугольник AOD
, а биссектрисы углов ACB
и DBC
— в центре O_{2}
окружности, вписанной в треугольник BOC
. Значит, точки O_{1}
и O_{2}
лежат на общей биссектрисе вертикальных углов AOD
и BOC
.
Рассмотрим ромб PO_{1}QO_{2}
из условия задачи. В нём \angle PO_{1}O_{2}=\angle QO_{1}O_{2}
, а значит, \angle DO_{1}O=\angle AO_{1}O
. Следовательно, треугольники AOO_{1}
и DOO_{1}
равны по стороне (O_{1}O
— общая) и двум прилежащим углам, откуда AO=DO
. Отсюда \angle OAD=\angle ODA
, и четырёхугольник ABCD
симметричен относительно серединного перпендикуляра к AD
. Поэтому AB=CD
.
Второй способ. Обозначим вершины ромба через P
, O_{1}
, Q
, O_{2}
, как и в первом способе. Расстояние между прямыми O_{2}P
и O_{1}Q
равно расстоянию между прямыми O_{1}P
и O_{2}Q
, т. е.
AC\sin\left(\frac{1}{2}\angle CAD\right)=BD\sin\left(\frac{1}{2}\angle BDA\right).
Вершины B
и C
равноудалены от прямой AD
, поэтому
AC\sin\angle CAD=BD\sin\angle BDA.
Разделив второе полученное равенство на первое, получим, что
\cos\left(\frac{1}{2}\angle CAD\right)=\cos\left(\frac{1}{2}\angle BDA\right).
Так как оба угла CAD
и BDA
меньше 180^{\circ}
, получаем, что \angle CAD=\angle BDA
. Как и в первом способе, заключаем, что AB=CD
.