5988. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC
с гипотенузой AB
, касается его сторон BC
, CA
, AB
в точках A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
соответственно. Пусть B_{1}H
— высота треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Докажите, что точка H
лежит на биссектрисе угла CAB
.
Решение. Из равнобедренных треугольников AB_{1}C_{1}
и BA_{1}C_{1}
имеем
\angle AC_{1}B_{1}=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAC,~\angle BC_{1}A_{1}=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ABC,
поэтому
\angle A_{1}C_{1}B_{1}=180^{\circ}-\angle AC_{1}B_{1}-\angle BC_{1}A_{1}=\frac{1}{2}(\angle BAC+\angle ABC)=45^{\circ}.
Итак, острый угол C_{1}
прямоугольного треугольника B_{1}HC_{1}
равен 45^{\circ}
, значит, этот треугольник равнобедренный. Поэтому точка H
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку B_{1}C_{1}
. Но этим же серединным перпендикуляром является биссектриса равнобедренного треугольника AB_{1}C_{1}
.