5995. На сторонах остроугольного треугольника ABC
вне него построены квадраты CAKL
и CBMN
. Прямая CN
пересекает отрезок AK
в точке X
, а прямая CL
пересекает отрезок BM
в точке Y
. Точка P
, лежащая внутри треугольника ABC
, является точкой пересечения описанных окружностей треугольников KXN
и LYM
. Точка S
— середина отрезка AB
. Докажите, что \angle ACS=\angle BCP
.
Решение. Пусть Q
— точка пересечения прямых KL
и MN
. Из точек L
и M
отрезок QY
виден под прямым углом, поэтому четырёхугольник QLYM
— вписанный. Аналогично четырёхугольник QNXK
— вписанный. Следовательно, Q
— вторая точка пересечения описанных окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
треугольников KXN
и LYM
соответственно.
Прямоугольные треугольники CAX
и CBY
подобны, так как
\angle XCA=\angle XCB-\angle ACB=90^{\circ}-\angle ACB=\angle ACY-\angle ACB=\angle YCB,
поэтому \frac{XC}{YC}=\frac{CA}{CB}
. Отсюда
XC\cdot CN=XC\cdot CB=YC\cdot CA=YC\cdot CL,
т. е. степени точки C
относительно окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
равны. Значит, C
лежит на прямой PQ
— радикальной оси этих окружностей (см. задачу 6391).
Достроим треугольник ABC
до параллелограмма ACBD
. Поскольку
\angle CAD=180^{\circ}-\angle ACB=\angle LCN,~CA=CL,~AD=CB=CN,
треугольники CAD
и LCN
равны. Отсюда
\angle ACS=\angle ACD=\angle CLN.
Из точек L
и N
отрезок CQ
виден под прямым углом, поэтому четырёхугольник QLCN
— вписанный, а так как BC\parallel MN
, то
\angle CLN=\angle CQN=\angle PCB.
Следовательно,
\angle ACS=\angle CLN=\angle PCB.
Примечание. Можно показать, что треугольники PAC
и PCB
подобны, так что P
— центр поворотной гомотетии, переводящей квадрат AKLC
в квадрат CNMB
.