6001. Докажите, что выпуклый n
-угольник является правильным тогда и только тогда, когда он переходит в себя при повороте на угол \frac{360^{\circ}}{n}
вокруг некоторой точки.
Указание. Выпуклый n
-угольник называется правильным, если равны все его стороны и все его углы.
Решение. Выпуклый n
-угольник называется правильным, если все его стороны равны и все углы равны. Пусть A_{1}A_{2}\ldots A_{n}
— правильный многоугольник, O
— точка пересечения биссектрис его углов A_{n}A_{1}A_{2}
и A_{1}A_{2}A_{3}
. Тогда треугольники A_{n}OA_{1}
и A_{2}OA_{1}
равны по двум сторонам и углу между ними.
Кроме того, из равенства углов n
-угольника следует, что треугольники A_{n}OA_{1}
A_{2}OA_{1}
— равнобедренные. Поэтому
OA_{n}=OA_{1}=OA_{2},~\angle A_{n}OA_{1}=\angle A_{1}OA_{2}.
Аналогично докажем, что
OA_{1}=OA_{2}=\ldots=OA_{n},~\angle A_{1}OA_{2}=\angle A_{2}OA_{3}=\ldots=\angle A_{n}OA_{1}=\frac{360^{\circ}}{n}.
Следовательно, O
— центр окружности, проходящей через точки A_{1}
, A_{2}
, \ldots
, A_{n}
. При повороте на угол \frac{360^{\circ}}{n}
вокруг точки O
данный n
-угольник переходит сам в себя.
Пусть теперь известно, что некоторый выпуклый n
-угольник A_{1}A_{2}\ldots A_{n}
переходит в себя при повороте вокруг некоторой точки O
на угол \frac{360^{\circ}}{n}
. Ясно, что эта точка лежит внутри многоугольника, а так как многоугольник выпуклый, то
\angle A_{1}OA_{2}+\ldots+\angle A_{n}OA_{1}=360^{\circ}.
Поскольку вершины многоугольника при повороте переходят в вершины, то точки A_{1}
, A_{2}
, \ldots
, A_{n}
лежат на окружности с центром O
, и
\angle A_{1}OA_{2}=\angle A_{2}OA_{3}=\ldots=\angle A_{n}OA_{1}=\frac{360^{\circ}}{n}.
Поэтому A_{1}OA_{2}
, A_{2}OA_{3}
, \ldots
, A_{n}OA_{1}
— равные равнобедренные треугольники. Следовательно, все стороны и все углы многоугольника равны, т. е. он правильный.
Примечание. В частности, треугольник правильный, если он переходит в себя при повороте на 120^{\circ}
вокруг центра его описанной окружности.