6007. Внутри квадрата A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}
взята точка P
. Из вершины A_{1}
опущен перпендикуляр на A_{2}P
, из A_{2}
— перпендикуляр на A_{3}P
, из A_{3}
— на A_{4}P
, из A_{4}
— на A_{1}P
. Докажите, что все четыре перпендикуляра (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Указание. Рассмотрите поворот на 90^{\circ}
вокруг центра квадрата.
Решение. При повороте вокруг центра квадрата на 90^{\circ}
, переводящем точку A_{1}
в точку A_{2}
, перпендикуляры, опущенные из вершин A_{1}
, A_{2}
, A_{3}
, A_{4}
, переходят в прямые A_{2}P
, A_{3}P
, A_{4}P
и A_{1}P
соответственно. Поэтому точкой их пересечения является образ точки P
при обратном повороте.