6009. С помощью циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник ABC
так, чтобы его вершины лежали на трёх данных параллельных прямых.
Указание. Рассмотрите поворот на угол 60^{\circ}
вокруг точки, лежащей на одной из данных прямых.
Решение. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен. Пусть его вершины A
, B
и C
лежат на данных параллельных прямых l_{1}
, l_{2}
и l_{3}
соответственно. При повороте на 60^{\circ}
вокруг точки A
, переводящем вершину C
в вершину B
, прямая l_{3}
перейдёт в некоторую прямую l
, пересекающую l_{2}
в точке B
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Возьмём на прямой l_{1}
произвольную точку A
. Образ прямой l_{3}
при повороте на угол 60^{\circ}
вокруг точки A
пересекает прямую l_{2}
в вершине B
искомого равностороннего треугольника.