6017. Пусть BD
— биссектриса треугольника ABC
, точки I_{a}
, I_{c}
— центры вписанных окружностей треугольников ABD
и CBD
соответственно. Прямая I_{a}I_{c}
пересекает прямую AC
в точке Q
. Докажите, что \angle DBQ=90^{\circ}
.
Указание. Примените свойство биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) и теорему Менелая к треугольнику AIC
, где I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
,.
Решение. Прямые AI_{a}
и CI_{c}
пересекаются в центре I
вписанной окружности треугольника ABC
. При этом точка I
лежит на биссектрисе BD
. Поскольку AI
и CI
— биссектрисы треугольников ABD
и CBD
, то по свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) \frac{AI_{a}}{I_{a}I}=\frac{AD}{ID}
и \frac{CI_{c}}{I_{c}I}=\frac{CD}{ID}
.
Применив теорему Менелая к треугольнику AIC
и прямой I_{a}I_{c}
, получаем, что
1=\frac{AI_{a}}{I_{a}I}\cdot\frac{II_{c}}{I_{c}C}\cdot\frac{CQ}{QA}=\frac{AD}{ID}\cdot\frac{ID}{CD}\cdot\frac{CQ}{QA}=\frac{AD}{CD}\cdot\frac{CQ}{AQ},
откуда \frac{CQ}{AQ}=\frac{CD}{AD}=\frac{BC}{AB}
. Тогда BQ
— биссектриса внешнего угла при вершине B
(см. задачу 1645). Следовательно, угол DBQ
прямой как угол между биссектрисами смежных углов.