6027. Теорема о гомотетии окружностей. Докажите, что для любых двух неравных окружностей существуют ровно две гомотетии, переводящие одну из окружностей в другую.
Решение. Пусть O
и O_{1}
— центры окружностей S
и S_{1}
радиусов R
и R_{1}
соответственно, причём R\ne R_{1}
.
Если центры O
и O_{1}
окружностей совпадают, то первая из них переходит во вторую при гомотетии с центром O
и коэффициентом \frac{R_{1}}{R}
, также при гомотетии с тем же центром и коэффициентом -\frac{R_{1}}{R}
.
Пусть точки O
и O_{1}
различны. Рассмотрим два параллельных диаметра AB
и A_{1}B_{1}
окружностей S
и S_{1}
соответственно. Будем считать, что точки A
и A_{1}
лежат по одну сторону от прямой OO_{1}
. Поскольку OA\ne O_{1}A_{1}
, прямые AA_{1}
и BB_{1}
пересекаются в некоторой точке Q
, лежащей вне отрезка OO_{1}
. Докажем, что при гомотетии с центром Q
и коэффициентом k=\frac{R_{1}}{R}
(H_{Q}^{\frac{R_{1}}{R}}
) окружность S
переходит в окружность S_{1}
.
Действительно, \overrightarrow{QO_{1}}=\frac{R_{1}}{R}\overrightarrow{QO}
, так как точка O_{1}
лежит на луче QO
и \frac{QO_{1}}{QO}=\frac{O_{1}A_{1}}{OA}=\frac{R_{1}}{R}
. Значит, H_{Q}^{\frac{R_{1}}{R}}(O)=O_{1}
. Аналогично H_{Q}^{\frac{R_{1}}{R}}(A)=A_{1}
.
При гомотетии окружность переходит в окружность, значит, любая точка M
, лежащая на окружности S
при рассматриваемой гомотетии переходит в точку M_{1}
, лежащую на окружности S_{1}
. Аналогично докажем, для любой точки Y_{1}
окружности S_{1}
существует точка Y
на окружности S
, для которой H_{Q}^{\frac{R_{1}}{R}}(Y)=Y_{1}
(для этого достаточно рассмотреть гомотетию H_{Q}^{\frac{R}{R_{1}}}
).
Пусть отрезки AB_{1}
и OO_{1}
пересекаются в точке P
(точка P
лежит на отрезке OO_{1}
). Аналогично предыдущему докажем, что при гомотетии с центром P
и коэффициентом -\frac{R_{1}}{R}
окружность S
переходит в окружность S_{1}
.
Гомотетии H_{Q}^{\frac{R_{1}}{R}}
и H_{P}^{-\frac{R_{1}}{R}}
не зависят от выбора параллельных диаметров AB
и A_{1}B_{1}
, следовательно, других гомотетий не существует.
Если окружности касаются, то центр одной из гомотетий — точка касания.
Примечание. Если окружности равны, то одна из двух гомотетий заменяется параллельным переносом.