6045. Пусть M
— основание высоты, опущенной на сторону BC
треугольника ABC
. Окружность, проходящая через точки B
и C
, пересекает стороны AB
и AC
в точках K
и P
соответственно. Пусть E
и F
— середины отрезков соответственно KC
и BP
. Докажите, что треугольник MFE
подобен треугольнику ABC
.
Решение. Обозначим \angle BAM=\alpha
и \angle CAM=\beta
. По условию задачи точка M
лежит на стороне BC
, поэтому \angle BAC=\alpha+\beta
. Если \alpha=\beta
, то утверждение очевидно. Предположим, что \alpha\lt\beta
.
Пусть B_{1}
и C_{1}
— середины сторон AC
и AB
соответственно. Отрезки MB_{1}
и MC_{1}
— медианы прямоугольных треугольников AMC
и AMB
, проведённые из вершин прямых углов, поэтому MB_{1}=\frac{1}{2}AC
и MC_{1}=\frac{1}{2}AB
(см. задачу 1109). Поскольку BC_{1}M
— внешний угол равнобедренного треугольника AC_{1}M
, то
\angle BC_{1}M=\angle MAC_{1}+\angle AMC_{1}=\alpha+\alpha=2\alpha,
а так как FC_{1}
— средняя линия треугольника ABP
, то FC_{1}\parallel AC
, поэтому \angle BC_{1}F=\angle BAC=\alpha+\beta
. Следовательно,
\angle MC_{1}F=\angle BC_{1}F-\angle BC_{1}M=\alpha+\beta-2\alpha=\beta-\alpha.
Аналогично докажем, что \angle MB_{1}E=\beta-\alpha
. Таким образом, угол при вершине C_{1}
треугольника MC_{1}F
равен углу при вершине B_{1}
треугольника MB_{1}E
.
Кроме того,
\frac{MC_{1}}{MB_{1}}=\frac{\frac{1}{2}AB}{\frac{1}{2}AC}=\frac{AB}{AC},
а так как треугольник BAP
подобен треугольнику CAK
(вписанные углы KBP
и PCK
опираются на одну и ту же дугу), то
\frac{AB}{AC}=\frac{AP}{AK}=\frac{2FC_{1}}{2EB_{1}}=\frac{FC_{1}}{EB_{1}},
значит, \frac{MC_{1}}{MB_{1}}=\frac{FC_{1}}{EB_{1}}
. Следовательно, треугольники MC_{1}F
и MB_{1}E
подобны.
Тогда \angle FMC_{1}=\angle EMB_{1}
, а значит, \angle FME=\angle B_{1}MC_{1}=\angle BAC
(треугольники B_{1}MC_{1}
и B_{1}AC_{1}
симметричны относительно средней линии B_{1}C_{1}
треугольника ABC
).
Кроме того, из подобия треугольников MC_{1}F
и MB_{1}E
следует, что
\frac{MF}{ME}=\frac{MC_{1}}{MB_{1}}=\frac{AC_{1}}{AB_{1}}=\frac{\frac{1}{2}AB}{\frac{1}{2}AC}=\frac{AB}{AC}.
Следовательно, треугольник MFE
подобен треугольнику ABC
. Что и требовалось доказать.