6051. В треугольнике ABC
угол A
равен 60^{\circ}
. На стороне AB
взята точка K
, причём AK=\frac{1}{2}AC
. Найдите BK
, если расстояние от центра описанной около треугольника ABC
окружности до стороны AC
равно a
.
Ответ. a\sqrt{3}
.
Решение. Пусть D
— середина стороны AC
, O
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Тогда OD
— серединный перпендикуляр к отрезку AC
, и OD=a
.
Поскольку AK=\frac{1}{2}AC=AD
и \angle DAK=60^{\circ}
, треугольник DAK
— равносторонний. Отложим на стороне AC
отрезок AM=AB
. Тогда треугольник BAM
— также равносторонний, поэтому
BK=AB-AK=AM-AD=DM.
Точка O
лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB
равностороннего треугольника ABM
, а значит, — на биссектрисе угла BMA
. Из прямоугольного треугольника DOM
находим, что
DM=OD\ctg\angle DMO=a\ctg30^{\circ}=a\sqrt{3}.
Следовательно, BK=DM=a\sqrt{3}
.