6066. В треугольник ABC
вписана окружность, M
— точка касания окружности со стороной BC
, MK
— диаметр. Прямая AK
вторично пересекает окружность в точке P
. Докажите, что касательная к окружности в точке P
делит сторону BC
пополам.
Указание. Рассмотрите гомотетию с центром A
, переводящую вписанную окружность треугольника ABC
в его вневписанную окружность, касающуюся стороны BC
.
Решение. Рассмотрим гомотетию с центром в точке A
, переводящую вписанную окружность треугольника ABC
в его вневписанную окружность, касающуюся стороны BC
.
Касательная l
в точке K
к вписанной окружности переходит в параллельную ей касательную к вневписанной окружности, т. е. в прямую BC
. Точка K
переходит в точку N
касания вневписанной окружности со стороной BC
.
Если p
— полупериметр треугольника ABC
, а F
— точка касания вневписанной окружности с лучом AC
, то
BM=p-AC,~CN=CF=AF-AC=p-AC
(см. задачу 219). Следовательно, BM=CN
.
Предположим, что точка N
лежит между M
и C
. Пусть касательная к вписанной окружности пересекает прямые BC
и l
в точках L
и Q
соответственно. Тогда LM=LP
и QK=QP
как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки. Треугольник PLN
подобен равнобедренному треугольнику PQK
, поэтому LN=LP
. Следовательно, BL=BM+ML=CN+LN=CL
.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Равенство LM=LN
можно доказать так. Поскольку LP=LM
, точка L
лежит на серединном перпендикуляре к катету PM
прямоугольного треугольника MPN
. Следовательно, L
— середина гипотенузы MN
.