6071. Две прямые пересекаются в точке A
под углом \alpha
. Точка B
удалена от этих прямых на расстояния a
и b
. Найдите AB
.
Ответ. \frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}\pm2ab\cos\alpha}}{\sin\alpha}
.
Решение. Пусть C
и D
— проекции точки B
, не лежащей ни на одной из данных прямых, на эти прямые, BC=a
, BD=b
. Из точек C
и D
отрезок AB
виден под прямым углом, значит эти точки лежат на окружности с диаметром AB
.
Предположим, что точка B
расположена внутри одного из вертикальных углов, равных \alpha
(рис. 1.). Тогда \angle CBD=180^{\circ}-\alpha
. По теореме косинусов из треугольника CBD
находим, что
CD=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cos(180^{\circ}-\alpha)}=\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab\cos\alpha}.
По теореме синусов CD=AB\sin\angle CAD
, откуда находим, что
AB=\frac{CD}{\sin\angle CAD}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab\cos\alpha}}{\sin\alpha}.
Если точка B
расположена внутри одного из вертикальных углов, равных 180^{\circ}-\alpha
(рис. 2), то аналогично получим, что AB=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha}}{\sin\alpha}
.