6077. Постройте треугольник, если на плоскости указаны три точки: центр вписанной в него окружности, середина какой-то стороны и основание высоты, проведённой к этой стороне.
Указание. Если вписанная окружность треугольника ABC
касается стороны AC
в точке D
, DM
— диаметр окружности, а прямая BM
пересекает сторону AC
в точке K
, то AK=DC
.
Решение. Лемма. Если вписанная окружность треугольника ABC
касается стороны AC
в точке D
, DM
— диаметр окружности, а прямая BM
пересекает сторону AC
в точке K
, то AK=DC
.
Доказательство. Рассмотрим гомотетию с центром в точке B
, переводящую вписанную окружность треугольника ABC
в его вневписанную окружность, касающуюся стороны AC
. Диаметр этой окружности, соответствующий диаметру DM
первой окружности, перпендикулярен AC
. Следовательно, вневписанная окружность касается стороны AC
в точке K
.
Если p
— полупериметр треугольника ABC
, а F
— точка касания вневписанной окружности с лучом BA
, то
CD=p-AB,~AK=AF=BF-AB=p-AB
(см. задачи 219 и 4805). Следовательно, AK=DC
. Лемма доказана.
Предположим, что треугольник ABC
построен. Пусть I
— центр его вписанной окружности, L
— середина стороны AC
, H
— основание высоты, опущенной из вершины B
, D
— точка касания вписанной окружности со стороной AC
, M
— точка, диаметрально противоположная точке D
, K
— точка касания вневписанной окружности со стороной AC
.
Тогда по доказанной лемме точки B
, M
и K
лежат на одной прямой и AK=CD
, поэтому L
— середина отрезка KD
. Отсюда вытекает следующее построение.
По данным точкам L
и H
строим прямую LH
. Из данной точки I
опускаем на неё перпендикуляр ID
. Строим точку K
, симметричную D
относительно точки L
, и точку M
, симметричную D
относительно точки I
. Через точку H
проводим прямую, перпендикулярную LH
. Точка B
пересечения этой прямой с прямой KM
есть вершина искомого треугольника. Из точки B
проводим касательные к окружности с центром I
радиуса ID
. Эти касательные пересекают прямую LH
в искомых вершинах A
и C
.
Докажем, что треугольник ABC
— искомый. Действительно, по построению точка I
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
, а точка H
— основание высоты, опущенной из вершины B
. Осталось доказать, что L
— середина стороны AB
.
По построению D
— точка касания вписанной окружности треугольника ABC
со стороной AB
, а M
— диаметрально противоположна точке D
, поэтому при гомотетии с центром B
, переводящей вписанную окружность построенного треугольника ABC
во вневписанную окружность, касающуюся его стороны AC
, точка M
переходит в такую точку K
, что AK=CD
, а так как по построению L
— середина KD
, то L
— середина AB
. Что и требовалось доказать.