6081. Рассмотрим вписанный четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из точки пересечения диагоналей на его стороны, являются вершинами четырёхугольника, в который можно вписать окружность.
Найдите радиус этой окружности, если радиус описанной окружности исходного четырёхугольника равен R
, а расстояние от её центра до точки пересечения диагоналей равно d
.
Ответ. \frac{R^{2}-d^{2}}{2R}
.
Решение. Пусть M
, N
, K
и L
— проекции точки Q
пересечения диагоналей AC
и BD
вписанного четырёхугольника ABCD
на стороны AB
, BC
, CD
и AD
соответственно. Заметим, что точки M
, N
, K
и L
— основания высот, опущенных из вершин прямых углов прямоугольных треугольников, поэтому эти точки лежат на сторонах исходного четырёхугольника, а не на их продолжениях.
Из точек M
и L
отрезок AQ
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AQ
. Вписанные в эту окружность углы QAL
и QML
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle QML=\angle QAL=\angle CAD.
Аналогично
\angle QMN=\angle QBN=\angle CBD,
а так как \angle CAD=\angle CBD
(четырёхугольник ABCD
вписанный), то \angle QML=\angle QMN
, т. е. MQ
— биссектриса угла LMN
. Аналогично докажем, что NQ
, KQ
и LQ
— биссектрисы углов четырёхугольника MNKL
.
Следовательно, биссектрисы внутренних углов четырёхугольника MNKL
пересекаются в одной точке. Поэтому четырёхугольник MNKL
описанный, причём Q
— центр его вписанной окружности.
Пусть r
— искомый радиус этой окружности, P
— точка её касания с отрезком ML
, O
— центр окружности, описанной около исходного четырёхугольника ABCD
. По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд QB\cdot QD=(R-d)(R+d)=R^{2}-d^{2}
.
Обозначим \angle QMP=\angle QML=\angle DAL=\angle QAD=\alpha
, \angle MBQ=\angle ABD=\angle ACD=\beta
. Из прямоугольных треугольников QMP
, AQD
и по теореме синусов из треугольника ADC
находим, что
\sin\alpha=\frac{QD}{AD},~QM=QB\sin\beta,~\sin\beta=\frac{AD}{2R},
r=QP=QM\sin\alpha=QB\sin\beta\sin\alpha=QB\cdot\frac{AD}{2R}\cdot\frac{QD}{AD}=\frac{QB\cdot QD}{2R}=\frac{R^{2}-d^{2}}{2R}.