6085. Дан параллелограмм ABCD
. На прямой AB
взята точка M
. Прямая, проходящая через точку M
и середину стороны BC
, пересекает прямую AC
в точке K
. Прямая, проходящая через точку K
и середину стороны AD
, пересекает прямую CD
в точке P
. Докажите, что BC\parallel MP
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке (точка M
лежит на отрезке AB
). Пусть F
и E
— середины сторон BC
и AD
соответственно, L
точка пересечения прямых KM
и CD
, Q
— точка пересечения прямых KP
и AB
.
Из равенства треугольников CFL
и BFM
следует, что CL=BM
, а из равенства треугольников DEP
и AEQ
— DP=AQ
. Поэтому
\frac{AM}{BM}=\frac{AM}{CL}=\frac{AK}{KC},~~\frac{DP}{CP}=\frac{AQ}{CP}=\frac{AK}{KC}.
Значит, \frac{AM}{BM}=\frac{DP}{CP}
, а так как AB=CD
, то BM=CP
. Следовательно, BC\parallel MP
.
Аналогично для остальных случаев.