6089. Пусть M
— точка окружности, описанной около треугольника ABC
. Прямая, проходящая через M
перпендикулярно BC
, вторично пересекает окружность в точке N
. Докажите, что прямая Симсона, соответствующая точке M
, параллельна прямой AN
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке (точка P
лежит на дуге BC
, не содержащей точки A
, точки A
и B
лежат по одну сторону от прямой MN
, точка C
— по другую). Пусть M_{1}
, M_{2}
и M_{3}
— основания перпендикуляров, опущенных из точки M
на прямые AB
, AC
и BC
соответственно. Тогда точки M_{1}
, M_{2}
и M_{3}
лежат на одной прямой — прямой Симсона (см. задачу 83), а точка M_{3}
— на прямой MN
.
Вписанные углы ANM
и ACM
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle ANM=\angle ACM
. Из точек M_{2}
и M_{3}
отрезок CM
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром MC
, поэтому четырёхугольник CM_{2}M_{3}M
— вписанный. Тогда
\angle NM_{3}M_{2}=180^{\circ}-\angle MM_{3}M_{2}=\angle MCM_{2}=\angle ACM=\angle ANM.
Следовательно, AN\parallel M_{2}M_{3}
. Что и требовалось доказать. Аналогично для остальных случаев.