6090. Докажите, что угол между прямыми Симсона, соответствующими двум точкам описанной окружности треугольника, равен половине дуги между этими точками.
Решение. Докажем сначала следующее утверждение. Если M
— точка окружности, описанной около треугольника ABC
, а прямая, проходящая через M
перпендикулярно BC
, вторично пересекает окружность в точке N
, то прямая Симсона, соответствующая точке M
, параллельна прямой AN
.
Рассмотрим случай, изображённый на рисунке 1 (точка M
лежит на дуге, не содержащей точки A
, точки A
и B
лежат по одну сторону от прямой MN
, точка C
— по другую). Пусть M_{1}
, M_{2}
и M_{3}
— основания перпендикуляров, опущенных из точки M
на прямые AB
, AC
и BC
соответственно. Тогда точки M_{1}
, M_{2}
и M_{3}
лежат на одной прямой — прямой Симсона (см. задачу 83), а точка M_{3}
— на прямой MN
.
Вписанные углы ANM
и ACM
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle ANM=\angle ACM
. Из точек M_{2}
и M_{3}
отрезок CM
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром MC
, поэтому четырёхугольник CM_{2}M_{3}M
— вписанный. Тогда
\angle NM_{3}M_{2}=180^{\circ}-\angle MM_{3}M_{2}=\angle MCM_{2}=\angle ACM=\angle ANM.
Следовательно, AN\parallel M_{2}M_{3}
. Что и требовалось доказать. Аналогично для остальных случаев.
Пусть теперь P
— ещё одна точка, лежащая на описанной окружности треугольника ABC
(рис. 2), P_{1}
— основание перпендикуляра, опущенного из P
на прямую BC
, Q
— отличная от P
точка пересечения прямой PP_{1}
с окружностью. Тогда по доказанному прямые Симсона точек M
и P
соответственно параллельны прямым AN
и AQ
. Значит, угол между этими прямыми Симсона равен углу между прямыми AN
и AQ
, т. е. вписанному углу NAQ
, равному половине дуги NQ
, на которую этот угол опирается. Поскольку дуги, заключённые между параллельными хордами, равны, угол NAQ
равен половине дуги MP
.
Примечание. Утверждение задачи равносильно следующему. Если точка M
движется по описанной окружности треугольника, то прямая Симсона, соответствующая этой точке, поворачивается на угол, равный половине угловой величины дуги, пройденной точкой P
.