6094. Найдите на описанной окружности треугольника все точки, для которых прямые Симсона совпадают с прямыми, содержащими стороны треугольника.
Ответ. Точки, диаметрально противоположные вершинам треугольника.
Решение. Пусть A_{1}
— точка описанной окружности треугольника ABC
, диаметрально противоположная вершине A
. Тогда A_{1}B\perp AB
и A_{1}C\perp AC
, т. е. B
и C
— основания перпендикуляров, опущенных из точки A_{1}
на прямые AB
и AC
. Поскольку через две различные точки проходит единственная прямая, BC
— прямая Симсона, соответствующая точке A_{1}
(см. задачу 83). Аналогично для точек, диаметрально противоположных вершинам B
и C
.
Ясно, что других таких точек нет.