6122. Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов. Докажите, что середины отрезков четырёх общих касательных этих окружностей лежат на одной прямой.
Решение. Первый способ. Поскольку расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов, окружности расположены одна вне другой, поэтому у них есть две внешние и две внутренние общие касательные.
Пусть прямая касается данных окружностей в точках A
и B
, а M
— середина отрезка AB
. Тогда MA=MB
, т. е. отрезки касательных, проведённых к окружностям из точки M
, равны. Значит, точка M
лежит на радикальной оси данных окружностей. Аналогично для середин отрезков остальных трёх касательных.
Второй способ. Пусть общая внешняя касательная касается окружностей в точках A
и B
, общие внутренние касательные пересекают AB
в точках P
и Q
, а M
— середина AB
. Тогда AP=BQ
(см. задачу 4805), значит, M
— середина PQ
. Аналогично для остальных отрезков, о которых говорится в условии задачи. Таким образом, середины этих отрезков совпадают с серединами боковых сторон и диагоналей трапеции PQRS
с вершинами в четырёх точках пересечения общих внешних и общих внутренних касательных, а значит, лежат на одной прямой — средней линии трапеции.