6129. В прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом при вершине C
высота CH
и биссектриса AK
пересекаются в точке M
. Докажите, что треугольник CMK
— равнобедренный.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда \angle BAK=\frac{\alpha}{2}
. Из прямоугольных треугольников AHM
и ACK
находим, что
\angle AMH=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2},~\angle AKC=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2},
поэтому
\angle CMK=\angle AMH=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}=\angle AKC=\angle MKC.
Следовательно, треугольник MKC
— равнобедренный.