6131. Докажите, что если при инверсии относительно некоторой окружности с центром O
окружность S
переходит в окружность S'
, то O
— один из центров гомотетии окружностей S
и S'
.
Решение. Пусть при инверсии относительно окружности \omega
с центром O
точка A
, лежащая на окружности S
, переходит в точку A'
окружности S'
с центром Q
, MN
— диаметр окружности S
, лежащий на прямой OQ
, M'
и N'
— образы точек M
и N
соответственно, K
— отличная от A'
точка пересечения прямой OA
с окружностью S'
.
Из подобия треугольников OAN
и ON'A'
следует, что
\angle OKM'=180^{\circ}-\angle A'N'M'=\angle ON'A'=\angle OAN.
Значит, M'K\parallel NA
. Следовательно, точка O
— центр гомотетии, переводящей окружность S
в окружность S'
.