6132. Задача Паппа. III в. н.э. На отрезке AB
взята точка C
и на отрезках AB
, BC
, CA
как на диаметрах построены соответственно полуокружности \alpha
, \beta
, \gamma
по одну сторону от AC
. В криволинейный треугольник, образованный этими полуокружностями, вписана окружность \delta_{1}
, в криволинейный треугольник, образованный полуокружностями \alpha
, \beta
и окружностью \delta_{1}
, вписана окружность \delta_{2}
и т. д. (окружность \delta_{n}
вписана в криволинейный треугольник, образованный полуокружностями \alpha
, \beta
и окружностью \delta_{n-1}
, n=2,3,\dots
). Пусть r_{n}
— радиус окружности \delta_{n}
, d_{n}
— расстояние от центра окружности \delta_{n}
до прямой AB
. Докажите, что \frac{d_{n}}{r_{n}}=2n
.
Указание. Примените инверсию относительно окружности с центром B
радиуса BA
.
Решение. Обозначим окружности, полуокружностями которых являются \alpha
, \beta
и \gamma
, теми же буквами.
Рассмотрим инверсию относительно окружности \omega
с центром B
радиуса BA
. При этой инверсии точка A
останется на месте, окружность \alpha
, проходящая через центр инверсии, перейдёт в прямую \alpha'
, проходящую через точку B
перпендикулярно AB
, окружность \beta
, проходящая через центр инверсии, — в прямую \beta'
, параллельную прямой \alpha'
, окружность \gamma
, не проходящая через центр инверсии, — в окружность \gamma'
, касающуюся параллельных прямых \alpha'
и \beta'
, а окружность \delta_{1}
, касающаяся окружностей \alpha
, \beta
и \gamma
, — в окружность \delta_{1}'
, касающуюся параллельных прямых \alpha'
, \beta'
и окружности \gamma'
. Радиус окружности \delta'
равен радиусу окружности \gamma'
.
Аналогично, окружность \delta_{n}
при рассматриваемой инверсии перейдёт в окружность \delta_{n}'
, касающуюся параллельных прямых \alpha'
, \beta'
и окружности \delta_{n-1}'
. Радиус окружности \delta_{n}'
также равен радиусу окружности \gamma'
.
Пусть O_{n}
, Q_{n}
и P
— центры окружностей \delta_{n}
, \delta_{n}'
и \gamma'
соответственно, M_{n}
— точка касания окружностей \delta_{n}'
и \delta_{n+1}'
, F_{n}
— проекция точки O_{n}
на прямую AB
, N_{n}
— точка пересечения отрезка O_{n}F_{n}
с окружностью \delta_{n}
.
Поскольку окружность \delta_{n}'
— образ окружности \delta_{n}
при рассматриваемой инверсии, окружности \delta_{n}'
и \delta_{n}
гомотетичны, причём центр гомотетии совпадает с центром B
инверсии. При этой гомотетии луч O_{n}F_{n}
переходит в параллельный ему луч Q_{n}P
, луч AF_{n}
— в себя, точка F_{n}
— в точку P
, а радиус O_{n}N_{n}
окружности \delta_{n}
— в радиус Q_{n}M_{n}
окружности \delta_{n}'
. Следовательно,
\frac{d_{n}}{r_{n}}=\frac{O_{n}F_{n}}{O_{n}N_{n}}=\frac{Q_{n}P}{Q_{n}M_{n}}=2n.
Примечание. См. также статью Л.Шибасова «Две задачи Архимеда», Квант, 2000, N1, с.41-42, 54.