6137. Середина каждой стороны параллелограмма соединена с концами противоположной стороны. Найдите площадь восьмиугольника, образованного пересечениями проведённых отрезков, если площадь параллелограмма равна 1.
Ответ. \frac{1}{6}
.
Решение. Пусть K
, L
, M
и N
— середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
и AD
параллелограмма ABCD
площади 1, O
— центр параллелограмма. Тогда площадь параллелограмма KBLO
равна \frac{1}{4}
, а площадь треугольника KLO
равна \frac{1}{8}
.
Пусть прямые AL
и BN
пересекаются в точке P
, прямые BM
и CK
— в точке Q
, а прямые AL
и CK
— в точке H
. Тогда P
, H
и Q
— три последовательные вершины восьмиугольника, о котором говорится в условии задачи. При этом P
— середина стороны KO
треугольника KLO
, Q
— середина стороны LO
, а H
— точка пересечения медиан LP
и KQ
этого треугольника, поэтому площадь четырёхугольника OPHQ
равна трети площади треугольника KLO
, т. е. \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{24}
. Осталось заметить, что площадь восьмиугольника в четыре раза больше площади четырёхугольника OPHQ
, а значит, равна 4\cdot\frac{1}{24}=\frac{1}{6}
.