6141. Остроугольный треугольник ABC
вписан в окружность \omega
. Касательные к \omega
, проведённые через точки B
и C
, пересекают касательную к \omega
, проведённую через точку A
, в точках K
и L
соответственно. Прямая, проведённая через K
параллельно AB
, пересекается с прямой, проведённой через L
параллельно AC
, в точке P
. Докажите, что BP=CP
.
Решение. Обозначим \angle ACB=\gamma
, Q
— точка пересечения прямых BK
и CL
. Из свойства параллельных прямых и теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle PKL=\angle KAB=\angle ACB=\gamma,
а так как треугольник AKB
равнобедренный, то \angle AKB=180^{\circ}-2\gamma
.
Пусть D
и E
— точки на продолжениях отрезков соответственно KL
и BK
за точку K
. Тогда
\angle DKE=\angle AKB=180^{\circ}-2\gamma,~\angle PKE=180^{\circ}-\angle PKL-\angle DKE=180^{\circ}-(180^{\circ}-2\gamma)-\gamma=\gamma,
значит, KE
— биссектриса угла DKP
, внешнего угла при вершине K
треугольника KQL
.
Аналогично, LP
— биссектриса внешнего угла при вершине L
этого треугольника, а так как биссектрисы двух внешних и третьего внутреннего углов треугольника пересекаются в одной точке (центре вневписанной окружности), то луч QP
— биссектриса угла KQL
.
Поскольку QB=QC
как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, треугольники PBQ
и PCQ
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, BP=CP
.